Soutenance de thèse de FONIO Niccolò
Titre de thèse
Algorithmes quantiques de gaz sur réseau pour les équations aux dérivées partielles de la mécanique des fluides
Quantum lattice gas algorithms for fluid dynamics partial differential equations
Résumé de la thèse
Les algorithmes quantiques pour les équations aux dérivées partielles (EDP) ont suscité un intérêt considérable en raison de leurs avantages computationnels potentiels. Si plusieurs approches efficaces sont été développées pour les équations linéaires, la simulation des EDP non linéaires demeure un défi majeur. En particulier, on ne sait toujours pas si les dynamiques non linéaires peuvent être représentées sous une forme compatible avec les exigences d'un calcul quantique efficace.
Cette thèse étudie les algorithmes de gaz sur réseau (lattice gas algorithms, LGA) comme une voie possible vers des algorithmes quantiques pour les EDP non linéaires. Les LGA font évoluer des entités dynamiques discrètes au moyen d'opérations locales de collision et de propagation (streaming), et ont historiquement conduit à des modèles numériques performants tels que les automates cellulaires de gaz sur réseau (lattice gas cellular automata, LGCA) et la méthode de Boltzmann sur réseau (lattice Boltzmann method, LBM). Leur structure hautement parallèle et leur lien intrinsèque avec la théorie cinétique en font des candidats naturels pour une implémentation quantique.
Nous étudions tout d'abord une formulation quantique directe des automates cellulaires de gaz sur réseau (LGCA). En exploitant le caractère stochastique de ces modèles, nous construisons un algorithme quantique à évolution temporelle pour l'équation de Burgers et montrons que la dynamique des gaz sur réseau peut naturellement engendrer un comportement macroscopique non linéaire. Nous mettons également en évidence une limitation fondamentale de cette approche : un encodage quantique efficace est incompatible avec les exigences simultanées de la propagation par marche quantique (quantum walk) et de la distinguabilité des états du gaz sur réseau. Ce résultat révèle un obstacle structurel aux implémentations quantiques des LGCA conventionnels.
Nous examinons ensuite la méthode de Boltzmann sur réseau (LBM) et montrons que ses opérateurs de collision non linéaires empêchent une concaténation efficace des pas de temps sur un ordinateur quantique pour les EDP non linéaires. Afin de surmonter cette difficulté, nous introduisons un nouveau modèle, l'algorithme adaptatif de gaz sur réseau (adaptive lattice gas algorithm, ALGA), fondé sur des populations entières de particules sur le réseau. Ce modèle fournit un cadre dans lequel les EDP non linéaires peuvent être simulées au moyen d'une évolution temporelle quantique concaténée. Il permet également de retrouver des distributions d'équilibre de type LBM grâce à des règles de collision adaptatives, mais au prix de la perte de cette propriété de concaténation des pas de temps.
Enfin, nous réexaminons les modèles hybrides classique-quantique de gaz sur réseau et montrons que leur formulation quantique conduit naturellement à une dynamique de Boltzmann sur réseau entropique. Celle-ci assure une stabilité numérique inconditionnelle tout en préservant la possibilité d'ajuster les coefficients hydrodynamiques. En nous appuyant sur ce cadre, nous développons un modèle bidimensionnel reproduisant la dynamique non linéaire anisotrope de Burgers.
Dans l'ensemble, les résultats de cette thèse mettent en évidence à la fois les potentialités et les limites des gaz sur réseau quantiques. Nous identifions les principaux obstacles qui empêchent l'obtention d'un avantage quantique direct, tout en proposant de nouvelles formulations de gaz sur réseau ouvrant des perspectives prometteuses pour la simulation quantique des équations aux dérivées partielles non linéaires.
Thesis resume
Quantum algorithms for partial differential equations have attracted considerable interest because of their potential computational advantages. While several efficient approaches have been developed for linear equations, the simulation of nonlinear PDEs remains a major open challenge. In particular, it is still unclear whether nonlinear dynamics can be represented in a form compatible with the requirements of efficient quantum computation.
This thesis investigates lattice gas algorithms (LGAs) as a possible route towards quantum algorithms for nonlinear PDEs. LGAs evolve discrete dynamical entities through local collision and streaming operations and have historically led to successful computational models such as lattice gas cellular automata (LGCA) and the lattice Boltzmann method (LBM). Their parallel structure and intrinsic connection to kinetic theory make them natural candidates for quantum implementation.
We first study a direct quantum formulation of lattice gas cellular automata (LGCA). Exploiting the stochastic nature of these models, we construct a time-marching quantum algorithm for Burgers' equation and show that lattice gas dynamics can naturally generate nonlinear macroscopic behaviour. At the same time, we identify a fundamental limitation of this approach: efficient quantum encoding is incompatible with the simultaneous requirements of quantum-walk streaming and distinguishability of lattice-gas states. This result highlights a structural obstacle for quantum implementations of conventional LGCA.
We then examine lattice Boltzmann method (LBM) and show that its nonlinear collision operators prevent efficient time-step concatenation on a quantum computer for nonlinear PDEs. To address this issue, we introduce a new model, the adaptive lattice gas algorithm (ALGA), based on integer-valued lattice populations. The model provides a framework in which nonlinear PDEs can be simulated through concatenated quantum time evolution. Moreover, it allows the recovery of lattice-Boltzmann-like equilibria through adaptive collision rules, but losing the time-step concatenation.
%The analysis reveals a fundamental trade-off between efficient quantum evolution and the reconstruction of hydrodynamic equilibrium distributions.
Finally, we revisit hybrid classical-quantum lattice gas models and show that their quantum formulation naturally leads to an entropic lattice Boltzmann dynamics. This yields unconditional numerical stability while preserving tunable hydrodynamic coefficients. Building on this framework, we develop a two-dimensional model reproducing nonlinear anisotropic Burgers dynamics.
Overall, the results of this thesis clarify both the opportunities and the limitations of quantum LGAs. We identify key obstacles preventing straightforward quantum advantages, while introducing new lattice-gas formulations that provide promising directions for the quantum simulation of nonlinear partial differential equations.