Soutenance de thèse de CHANG Xu
Titre de thèse
Interaction non linéaire d'ondes inertielles dans les fluides en rotation
Nonlinear interaction of inertial waves in rotating fluids
Résumé de la thèse
Dans les noyaux planétaires, les océans sous-glaciaires et les intérieurs stellaires, la libration, la précession et les marées forcent des ondes inertielles restaurées par l'accélération de Coriolis. Aux très faibles nombres d'Ekman E propres à ces milieux fluides géophysiques, la viscosité régularise la réponse non-visqueuse singulière et produit des faisceaux concentrés de largeur O(E^(1/3)), décrits par la solution auto-similaire de Moore & Saffman (1969).
Cette thèse étudie le couplage non linéaire bidirectionnel entre ces faisceaux et les écoulements zonaux : l'écoulement zonal moyen engendré par un faisceau concentré dans un conteneur fermé en rotation, et la rétroaction d'un écoulement zonal prescrit sur les faisceaux qui le traversent. Les deux questions sont traitées par des développements asymptotiques raccordés et un développement faiblement non linéaire fondé sur les solutions de faisceaux de Moore et Saffman. Ces prédictions sont validées par des calculs spectraux dans la coquille sphérique et des simulations en éléments spectraux en milieu ouvert.
Nous calculons d'abord l'écoulement moyen engendré par la libration du noyau interne d'une coquille sphérique à la fréquence de forçage ω = √2 Ω, pour laquelle le faisceau émis à la latitude critique se referme sur un circuit périodique rectangulaire. Outre l'écoulement régulier pompé par les couches limites d'Ekman, les interactions onde-onde se localisent aux réflexions et aux croisements du faisceau. La correction d'écoulement moyen associée est généralement d'ordre E^(-1/6) mais atteint E^(-1/2) près de l'axe de rotation. Les réflexions émettent des bandes zonales de largeur O(E^(1/3)).
Nous étudions ensuite un faisceau traversant une rotation différentielle localisée, en fonction du rapport entre la largeur de transition et celle du faisceau. Une transition douce transporte le faisceau sur une caractéristique courbe sans réflexion. Une transition abrupte agit comme une interface, avec des coefficients explicites de réflexion et de transmission vérifiant R² + T² = 1. La rétroaction d'une bande zonale de faible amplitude et de même largeur que le faisceau est ensuite calculée de manière perturbative. Nous obtenons que le faisceau réfléchi est plus grand d'un facteur E^(-1/3) que la correction au faisceau transmis, dont l'effet correspond à un déplacement latéral du faisceau incident. Ces résultats montrent que les bandes zonales générées par un faisceau d'ondes inertielles vont avoir tendance à induire de nouveaux faisceaux, augmentant ainsi la diffusion.
Thesis resume
In planetary cores, subsurface oceans and stellar interiors, libration, precession and tides force inertial waves restored by the Coriolis acceleration. At the very small Ekman numbers E characteristic of such interiors, viscosity smooths the singular inviscid response, producing concentrated beams of width O(E^(1/3)) described by the self-similar solution of Moore & Saffman (1969).
This thesis investigates the two-way nonlinear coupling between these beams and zonal flows: the mean zonal flow driven by a concentrated beam in a closed rotating container, and the feedback of a prescribed zonal flow on the beams that cross it. Both questions are addressed by matched asymptotics and a weakly nonlinear expansion based on Moore-Saffman beam solutions. These predictions are validated by spectral calculations in the spherical shell and spectral element simulations in an open medium.
First, we compute the mean flow driven by the libration of the inner core of a spherical shell at the forcing frequency ω = √2 Ω, for which the beam generated at the critical latitude closes on a rectangular periodic circuit. In addition to the smooth flow pumped by the Ekman boundary layers, the wave-wave interactions are localised at the reflections and crossings of the beam. The mean flow correction driven by these interactions generally scales as E^(-1/6) but reaches E^(-1/2) near the rotation axis. The reflections emit zonal bands of width O(E^(1/3)).
Second, we study a beam crossing a localised differential rotation as a function of the ratio between the transition width and the beam width. A smooth transition carries the beam along a curved characteristic without reflection. A sharp transition acts as an interface, with explicit reflection and transmission coefficients satisfying R² + T² = 1. The feedback of a low-amplitude zonal band of the same width as the beam is then calculated perturbatively. We find that the reflected beam is larger by a factor of E^(-1/3) than the correction to the transmitted beam, the effect of which corresponds to a lateral shift of the incident beam. These results show that zonal bands generated by an inertial wave beam will tend to induce new beams, thereby increasing scattering.